试题

（2006·宿迁）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=

5

4

a；
（4）就r＞a的情形，请你仿照“当…时，⊙O与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）．

解：（1）

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个；

（2）

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个；

（3）连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF²+FC²=OC²，
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r，
∴r=

5

4

a．

（4）当a＜r＜

5

4

a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r=

5

4

a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当

5

4

a＜r＜

2

a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当r=

2

a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当r＞

2

a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．