试题

如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．求证：OE=OF；
（2）在（1）的条件下，若EF=2

3

，求x；
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x，连接EF；
∵AE²+AF²=EF²，
∴x2+(4-x)2=(2

3

)2，
∴x²-4x+2=0，
∴x1=2-

2

，x2=2+

2

．（6分）

（3）①∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO；
∵∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴

DF

BO

=

OD

BE

，
∴y=

8

x

．（8分）
（2≤x≤4）（9分）
②连接EF，
由①知△BOE∽△DFO，
∴

EO

FO

=

BE

OD

，
∵BO=DO，
∴

EO

FO

=

BE

OB

，
∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠OEB．（11分）
∴点O到EF、BE的距离相等，O到BE的距离即为正方形内切圆⊙O的半径，
∴直线EF与正方形的内切圆相切．（12分）
解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x，连接EF；
∵AE²+AF²=EF²，
∴x2+(4-x)2=(2

3

)2，
∴x²-4x+2=0，
∴x1=2-

2

，x2=2+

2

．（6分）

（3）①∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO；
∵∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴

DF

BO

=

OD

BE

，
∴y=

8

x

．（8分）
（2≤x≤4）（9分）
②连接EF，
由①知△BOE∽△DFO，
∴

EO

FO

=

BE

OD

，
∵BO=DO，
∴

EO

FO

=

BE

OB

，
∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠OEB．（11分）
∴点O到EF、BE的距离相等，O到BE的距离即为正方形内切圆⊙O的半径，
∴直线EF与正方形的内切圆相切．（12分）