试题

题目：
如图所示，直线AB、CD相交于点P，点Q、E在AB上，已知：PQ=8，QE=3，sin∠BPC=
5
5
，O为射线QA上的一动点，⊙O的半径为
5
，开始时，O点与Q点重合，⊙O沿射线QA方向移动．
（1）当圆心O运动到与点E重合时，判断此时⊙O与直线CD的位置关系，交说明你的理由；
（2）设移动后⊙O与直线CD交于点M、N，若△OMN是直角三角形，求圆心O移动的距离．
青果学院
答案
青果学院解：（1）如图1，过点E作EF⊥CD于点F，
∵PQ=8，QE=3，
∴PE=PQ-QE=8-3=5，
∵sin∠BPC=
5
5
，
∴EF=PE·sin∠BPC=5×
5
5
=
5
，
∴此时⊙O与直线CD相切；

（2）如图2，当O点在P点的右侧时：过点O作OG⊥CD于点G，
∵△OMN是直角三角形，OM=ON=
5
，
∴2OG2=OM2，即OG=
(
5
)2
2
=
10
2
，
∵sin∠BPC=
5
5
，
∴OP=
OG
sin∠BPC
=
10
2
5
5
=
5
2
2
．
∴OQ=PQ-OP=8-
5
2
2
．
如图3，当点O在点P的左侧时，同理可得OP=
5
2
2
，
∴OQ=PQ+OP=8+
5
2
2

答：圆心O移动的距离是8-
5
2
2
或8+
5
2
2
．
青果学院
青果学院解：（1）如图1，过点E作EF⊥CD于点F，
∵PQ=8，QE=3，
∴PE=PQ-QE=8-3=5，
∵sin∠BPC=
5
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，
∴EF=PE·sin∠BPC=5×
5
5
=
5
，
∴此时⊙O与直线CD相切；

（2）如图2，当O点在P点的右侧时：过点O作OG⊥CD于点G，
∵△OMN是直角三角形，OM=ON=
5
，
∴2OG2=OM2，即OG=
(
5
)2
2
=
10
2
，
∵sin∠BPC=
5
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，
∴OP=
OG
sin∠BPC
=
10
2
5
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=
5
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．
∴OQ=PQ-OP=8-
5
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如图3，当点O在点P的左侧时，同理可得OP=
5
2
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，
∴OQ=PQ+OP=8+
5
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答：圆心O移动的距离是8-
5
2
2
或8+
5
2
2
．
青果学院
考点梳理
直线与圆的位置关系．
（1）过点E作EF⊥CD于点F，求出PE的长，根据sin∠BPC=
5
5
即可求出EF的长，进而可判断出⊙O与直线CD的位置关系；
（2）过点O作OG⊥CD于点G，由勾股定理求出OG的长，再根据sin∠BPC=
5
5
即可求出OP的长，进而可得出结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系及锐角三角函数的定义，熟知直线与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
探究型．
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