试题

如图，在直角坐标系中点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3．
（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；
（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O′有哪几种位置关系？并写出每种位置关系时b的取值范围．

解：（1）∵点O′的坐标为（2，0），
∴A（4，0）．
设经过B、C两点的直线的解析式是y=kx+3，
把（-1，0）代入，得
-k+3=0，
k=3．
则直线BC的解析式是y=3x+3．

（2）设直线BE与⊙O′相切于点D，连接O′D，则O′D⊥BE．
根据勾股定理，得BD=

9-4

=

5

．
根据两角对应相等，得△BOE∽△BDO′，
则

OE

O′D

=

OB

BD

，
即b=

2

5

=

2

5

5

．
所以当0＜b＜

2

5

5

时，直线和圆相交；
当b=

2

5

5

时，直线和圆相切；
当

2

5

5

＜b＜3时，直线和圆相离．
解：（1）∵点O′的坐标为（2，0），
∴A（4，0）．
设经过B、C两点的直线的解析式是y=kx+3，
把（-1，0）代入，得
-k+3=0，
k=3．
则直线BC的解析式是y=3x+3．

（2）设直线BE与⊙O′相切于点D，连接O′D，则O′D⊥BE．
根据勾股定理，得BD=

9-4

=

5

．
根据两角对应相等，得△BOE∽△BDO′，
则

OE

O′D

=

OB

BD

，
即b=

2

5

=

2

5

5

．
所以当0＜b＜

2

5

5

时，直线和圆相交；
当b=

2

5

5

时，直线和圆相切；
当

2

5

5

＜b＜3时，直线和圆相离．