试题

（2012·尤溪县质检）如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-

3

4

x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）求⊙A的半径和b的值；
（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q坐标．

解：（1）连接AM，作MD⊥OB，由点M（4，4），A（1，0），
∴|AM|=

(4-1)2+42

=5，
即，⊙A的半径为5；
把点M（4，4）代入y=-

3

4

x+b得，4=-

3

4

×4+b，
解得，b=7；

（2）由图得，0=-

3

4

x+7，得x=

28

3

，
即OB=

28

3

，
∴AB=

28

3

-1=

25

3

，BD=

28

3

-4=

16

3

，
∴AM²+MB²=5²+4²+(

16

3

)2=69

4

9

，
AB²=(

25

3

)2=69

4

9

，
∴∠AMB=90°，
∴直线BC与⊙A相切；

（3）①当∠PQM=90°时，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴过点M作MP⊥OB于P，
点Q与点O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②过点M作MN⊥y轴，MD⊥x轴，
当△MNQ≌△MDP时，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=3+

41

（舍去），b=3-

41

．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-

41

）．
解：（1）连接AM，作MD⊥OB，由点M（4，4），A（1，0），
∴|AM|=

(4-1)2+42

=5，
即，⊙A的半径为5；
把点M（4，4）代入y=-

3

4

x+b得，4=-

3

4

×4+b，
解得，b=7；

（2）由图得，0=-

3

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x+7，得x=

28

3

，
即OB=

28

3

，
∴AB=

28

3

-1=

25

3

，BD=

28

3

-4=

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3

，
∴AM²+MB²=5²+4²+(

16

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)2=69

4

9

，
AB²=(

25

3

)2=69

4

9

，
∴∠AMB=90°，
∴直线BC与⊙A相切；

（3）①当∠PQM=90°时，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴过点M作MP⊥OB于P，
点Q与点O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②过点M作MN⊥y轴，MD⊥x轴，
当△MNQ≌△MDP时，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=3+

41

（舍去），b=3-

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．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-

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）．