试题

如图：平面直角坐标系中，已知A（-

1

2

，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负半轴于D．
①判断△ABC的形状，并说明理由．
②点A是弧CD的中点吗？说明理由．
③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直线l与⊙M有公共点时，求m的取值范围．
④在y轴上是否存在点P，使得四边形APBC是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：①△ABC为直角三角形，理由如下：
连接AC，BC，

∵A（-

1

2

，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA=

1

2

，OB=2，OC=1，
∴AB=OA+OB=

5

2

，即AB²=

25

4

，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC²=AO²+OC²=

1

4

+1=

5

4

，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC²=BO²+OC²=4+1=5，
∴AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC为直角三角形；

②A是弧CD的中点，理由为：
∵直径BA⊥弦CD，
∴A为

CD

的中点；

③如上图所示：
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=

5

2

，
∴AM=r=

5

4

，
∴d=

5

4

，即m=

5

4

；
当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=

5

2

，
∴AM=r=

5

4

，
∴d=

5

4

，即m=-

5

4

，
则当直线l与⊙M有公共点时，m的取值范围为-

5

4

≤m≤

5

4

；

④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形，
过点B作BP₁∥AC，交y轴于点P₁，
∴∠ACP₁=∠BP₁C，∠CAO=∠OBP₁，
∴△AOC∽△BOP₁，
∴

OC

OP1

=

AO

BO

，即OP₁=

OC·OB

OA

=4，
∴P₁坐标为（0，-4）；
过点A作AP₂∥BC，交y轴于点P₂，
∴∠AP₂O=∠BCO，∠OAP₂=∠OBC，
∴△BOC∽△AOP₂，
∴

OC

OP2

=

BO

AO

，即OP₂=

OC·AO

OB

=

1

4

，
∴P₂坐标为（0，-

1

4

）．
则在y轴上存在点P（0，-4）或（0，-

1

4

），使得四边形APBC是梯形．
解：①△ABC为直角三角形，理由如下：
连接AC，BC，

∵A（-

1

2

，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA=

1

2

，OB=2，OC=1，
∴AB=OA+OB=

5

2

，即AB²=

25

4

，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC²=AO²+OC²=

1

4

+1=

5

4

，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC²=BO²+OC²=4+1=5，
∴AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC为直角三角形；

②A是弧CD的中点，理由为：
∵直径BA⊥弦CD，
∴A为

CD

的中点；

③如上图所示：
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=

5

2

，
∴AM=r=

5

4

，
∴d=

5

4

，即m=

5

4

；
当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=

5

2

，
∴AM=r=

5

4

，
∴d=

5

4

，即m=-

5

4

，
则当直线l与⊙M有公共点时，m的取值范围为-

5

4

≤m≤

5

4

；

④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形，
过点B作BP₁∥AC，交y轴于点P₁，
∴∠ACP₁=∠BP₁C，∠CAO=∠OBP₁，
∴△AOC∽△BOP₁，
∴

OC

OP1

=

AO

BO

，即OP₁=

OC·OB

OA

=4，
∴P₁坐标为（0，-4）；
过点A作AP₂∥BC，交y轴于点P₂，
∴∠AP₂O=∠BCO，∠OAP₂=∠OBC，
∴△BOC∽△AOP₂，
∴

OC

OP2

=

BO

AO

，即OP₂=

OC·AO

OB

=

1

4

，
∴P₂坐标为（0，-

1

4

）．
则在y轴上存在点P（0，-4）或（0，-

1

4

），使得四边形APBC是梯形．