试题

（2004·河南）如图，边长为3的正△ABC中，M、N分别位于AC、BC上，且AM=1，BN=2．过C、M、N三点的圆交△ABC的一条对称轴于另一点0．求证：点O是正△ABC的中心．

证明：如图，连接AO，（1分）
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1，
∵直线CO是正△ABC的一条对称轴，
∴∠ACO=∠NCO．
∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．（5分）
∴∠MAO=∠NCO=30°．
∴O是正△ABC两个内角平分线的交点．
∴点O是正△ABC的中心．（7分）
证明：如图，连接AO，（1分）
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1，
∵直线CO是正△ABC的一条对称轴，
∴∠ACO=∠NCO．
∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．（5分）
∴∠MAO=∠NCO=30°．
∴O是正△ABC两个内角平分线的交点．
∴点O是正△ABC的中心．（7分）