试题
题目:
已知a,b,c是△ABC的三边长,且方程a(1+x
2
)+2bx-c(1-x
2
)=0的两根相等,则△ABC的形状是:
直角三角形
直角三角形
.
答案
直角三角形
解:原方程整理得(a+c)x
2
+2bx+a-c=0,
因为两根相等,
所以△=b
2
-4ac=(2b)
2
-4×(a+c)×(a-c)=4b
2
+4c
2
-4a
2
=0,
即b
2
+c
2
=a
2
,
所以△ABC是直角三角形.
故答案为:直角三角形.
考点梳理
考点
分析
点评
根的判别式.
方程a(1+x
2
)+2bx-c(1-x
2
)=0的两根相等,即△=0,结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状.
此题考查了根的判别式,用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0·方程有两个不相等的实数根;(2)△=0·方程有两个相等的实数根;(3)△<0·方程没有实数根.△ABC的三边长满足b
2
+c
2
=a
2
,由勾股定理的逆定理可知,此三角形是直角三角形.
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2
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