试题

题目：
（1997·河北）a、b、c是一三角形的三边长，若方程组
x2-ax-y+b2+ac=0
ax-y+bc=0
只有一组解，则这个三角形一定是
等腰
等腰
三角形．
答案
等腰

解：
x2-ax-y+b2+ac=0①
ax-y+bc=0②
，
由②得y=ax+bc③，
把③代入①得x2-ax-（ax+bc）+b2+ac=0，
整理得x2-2ax+b2+ac-bc=0，
∵方程组只有一组解，
∴△=0，即4a2-4（b2+ac-bc）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b＞c，
∴a-b=0，
即a=b，
∴此三角形为等腰三角形．
故答案为等腰．
考点梳理
根的判别式；因式分解的应用．
先利用代入法把y消去得到x2-ax-（ax+bc）+b2+ac=0，整理得x2-2ax+b2+ac-bc=0，由于方程组只有一组解，即x只有一个值，则△=0，即4a2-4（b2+ac-bc）=0，变形得到（a-b）（a+b-c）=0而a+b-c≠0，则a-b=0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．也考查了因式分解的应用．
计算题；压轴题．
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