试题

若关于x的三个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是．

解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，则有△₁＜0，即△₁=16m²-4（4m²+2m+3）＜0，解得m＞-

3

2

；
对于方程x²+（2m+1）x+m²=0，则有△₂＜0，即△₂=（2m+1）²-4m²=4m+1＜0，解得m＜-

1

4

；
对于方程（m-1）x²+2mx+m-1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，
所以m≠1，则有△₃＜0，
即△₃=4m²-4（m-1）²=8m+4＜0，解得m＜

1

2

．
综合所得：当-

3

2

＜m＜-

1

4

，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．
故答案为：m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．