试题

题目：
已知：矩形ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的方程x2-mx+
m
2
+
3
4
=0的两个实数根．
（1）求m的值；（2）直接写出矩形面积的最大值．
答案
解：（1）由矩形ABCD的对角线AC=BD得△=0，
所以m2-4(
m
2
+
3
4
)=0，
解得m=3或-1，
而AC、BD为正数，
∴m=3；       
（2）当矩形为正方形时，面积最大，
把m=3代入原方程，可得x2-3x+
9
4
=0，
解得x=
3
2
，
即AC=BD=
3
2
，
设正方形的边长为x，则
2x2=
9
4
，
∴x2=
9
8
，
矩形面积的最大值=
9
8
．
解：（1）由矩形ABCD的对角线AC=BD得△=0，
所以m2-4(
m
2
+
3
4
)=0，
解得m=3或-1，
而AC、BD为正数，
∴m=3；       
（2）当矩形为正方形时，面积最大，
把m=3代入原方程，可得x2-3x+
9
4
=0，
解得x=
3
2
，
即AC=BD=
3
2
，
设正方形的边长为x，则
2x2=
9
4
，
∴x2=
9
8
，
矩形面积的最大值=
9
8
．
考点梳理
根的判别式；矩形的性质．
（1）由于矩形的对角线相等，那么△=0，解关于m的一元二次方程可得m=3或-1，而AC、BD为正数，易求m=3；
（2）当矩形的对角线固定，矩形的长宽相等时，面积最大，先把m=3代入原方程，求出对角线，再设边长为x，进而可得x2=
9
8
，就是面积．
本题考查了矩形的性质、根的判别式，解题的关键是知道当矩形的对角线固定，矩形为正方形时面积最大．
计算题．
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