试题

已知：关于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求证：无论m取何值方程必有实数根；
（2）设m＞0方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-3x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤m+2．

解：（1）当m=0，原方程变为：-3x+3=0，此方程有根为x=1；
当m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有两个实数根
所以无论m取何值方程必有实数根；

（2）∵x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=

3m+3

m

，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=

3m+3

m

-3=

3

m

（m＞0）；

（3）y=

3

m

（m＞0）和y=m+2的交点坐标为（1，3），
如图，当m≥1，y≤m+2．
解：（1）当m=0，原方程变为：-3x+3=0，此方程有根为x=1；
当m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有两个实数根
所以无论m取何值方程必有实数根；

（2）∵x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=

3m+3

m

，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=

3m+3

m

-3=

3

m

（m＞0）；

（3）y=

3

m

（m＞0）和y=m+2的交点坐标为（1，3），
如图，当m≥1，y≤m+2．