试题

题目：
已知关于x的一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）设x1，x2是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立，若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．
答案
解：（1）根据题意得a-6≠0且△=4a2-4（a-6）·a≥0，
解得a≥0且a≠6；

（2）存在．
根据题意得x1+x2=-
2a
a-6
，x1x2=
a
a-6
，
∵-x1+x1x2=4+x2，即x1x2=4+x1+x2，
∴
a
a-6
=4-
2a
a-6
，
解得a=24，
∵a≥0且a≠6，
∴a=24时，使-x1+x1x2=4+x2成立．
解：（1）根据题意得a-6≠0且△=4a2-4（a-6）·a≥0，
解得a≥0且a≠6；

（2）存在．
根据题意得x1+x2=-
2a
a-6
，x1x2=
a
a-6
，
∵-x1+x1x2=4+x2，即x1x2=4+x1+x2，
∴
a
a-6
=4-
2a
a-6
，
解得a=24，
∵a≥0且a≠6，
∴a=24时，使-x1+x1x2=4+x2成立．
考点梳理
根的判别式．
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=4a2-4（a-6）·a≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-
2a
a-6
，x1x2=
a
a-6
，再根据已知条件得
a
a-6
=4-
2a
a-6
，然后解方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．
计算题．
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