试题

已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
（1）不解方程，求a+

1

a

的值；
（2）根据（1）的结果，求

a

-

1

a

的值；
（3）说明方程ax²-x+1=0根的情况．

解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a²-4a+1=0，
∴a²+1=4a，
∴a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4，即a+

1

a

的值是4；

（2）原方程的解是：x=

4±2 3

2

=2±

3

．
∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a=2-

3

＜1，
∴

a

＜

1

a

，则

a

-

1

a

＜0，
∴（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=4-2=2，则

a

-

1

a

=-

2

；

（3）由（2）知，a=2-

3

．
∵△=b²-4ac═（-1）²-4a=1-4a=4

3

-7＜0，
∴△＜0，
∴原方程没有实数根．
解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a²-4a+1=0，
∴a²+1=4a，
∴a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4，即a+

1

a

的值是4；

（2）原方程的解是：x=

4±2 3

2

=2±

3

．
∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a=2-

3

＜1，
∴

a

＜

1

a

，则

a

-

1

a

＜0，
∴（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=4-2=2，则

a

-

1

a

=-

2

；

（3）由（2）知，a=2-

3

．
∵△=b²-4ac═（-1）²-4a=1-4a=4

3

-7＜0，
∴△＜0，
∴原方程没有实数根．