试题

已知：关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）任选一个k的值，使方程的根为有理数，并求出此时方程的根．

解：（1）根据题意得，k≠0，且△＞0，即（-2）²-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1，
∴实数k的取值范围为k＞-1且k≠0；

（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞-1且k≠0，故取k=1，则
x²-2x-1=0，即（x-1）²=2，
开方，得
x-1=±

2

，
解得，x₁=1+

2

，x₂=1-

2

．
解：（1）根据题意得，k≠0，且△＞0，即（-2）²-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1，
∴实数k的取值范围为k＞-1且k≠0；

（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞-1且k≠0，故取k=1，则
x²-2x-1=0，即（x-1）²=2，
开方，得
x-1=±

2

，
解得，x₁=1+

2

，x₂=1-

2

．