试题

题目:
已知:关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)任选一个k的值,使方程的根为有理数,并求出此时方程的根.
答案
解:(1)根据题意得,k≠0,且△>0,即(-2)2-4×k×(-1)>0,解得k>-1,
∴实数k的取值范围为k>-1且k≠0;

(2)由(1)知,实数k的取值范围为k>-1且k≠0,故取k=1,则
x2-2x-1=0,即(x-1)2=2,
开方,得
x-1=±
2

解得,x1=1+
2
,x2=1-
2

解:(1)根据题意得,k≠0,且△>0,即(-2)2-4×k×(-1)>0,解得k>-1,
∴实数k的取值范围为k>-1且k≠0;

(2)由(1)知,实数k的取值范围为k>-1且k≠0,故取k=1,则
x2-2x-1=0,即(x-1)2=2,
开方,得
x-1=±
2

解得,x1=1+
2
,x2=1-
2
考点梳理
根的判别式;一元二次方程的定义.
(1)根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0,且△>0,然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围;
(2)根据(1)中k的取值范围,任取一k的值,然后解方程即可.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根;也考查了一元二次方程的定义.
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