试题

已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0，
（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
（2）如果等腰三角形的腰和底分别是这个方程的两根：①求这个三角形的周长（用含k的代数式表示）；②求k的取值范围．

解：（1）∵△=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）
=4k²+4k+1-16k+8
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵（2k-3）²，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根；

（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

∴x₁=2，x₂=2k-1，
①当以2为腰，2k-1为底，则三角形的周长为2k+3；
当以2为底，2k-1为腰时，三角形的周长为4k．
②当以2为腰，2k-1为底时，

1

2

＜k＜

5

2

；
当以2为底，2k-1为腰时，k＞1．
解：（1）∵△=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）
=4k²+4k+1-16k+8
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵（2k-3）²，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根；

（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

∴x₁=2，x₂=2k-1，
①当以2为腰，2k-1为底，则三角形的周长为2k+3；
当以2为底，2k-1为腰时，三角形的周长为4k．
②当以2为腰，2k-1为底时，

1

2

＜k＜

5

2

；
当以2为底，2k-1为腰时，k＞1．