试题

如图直线l：y=kx+2-4k（k为实数）．
（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．

（1）证明：令k=1．得y=x-2；令k=2，得y=2x-6，
联立解得x=4，y=2．
故定点为M（4.2），
将点M（4.2）的坐标代入直线l的方程，得2=2，
这是一个与k无关的恒等式．故不论k为任何实数，直线l都过定点M（4.2）；

（2）解：取x=0，得OB=2-4k（k＜0），
取y=0．得OA=

4k-2

k

（k＜0），
于是S_△AOB=

(4k-2)(2-4k)

2k

（k＜0），
将上式转化为二次方程得，8k²+（s-8）k+2=0．①
因为k为实数，
所以△=（S-8）²-64≥O．即S²-16S≥O，故S≥16．
将S=16代入式①．得k=-

1

2

，
所以当k=-

1

2

时，S_△AOB最小=16．
（1）证明：令k=1．得y=x-2；令k=2，得y=2x-6，
联立解得x=4，y=2．
故定点为M（4.2），
将点M（4.2）的坐标代入直线l的方程，得2=2，
这是一个与k无关的恒等式．故不论k为任何实数，直线l都过定点M（4.2）；

（2）解：取x=0，得OB=2-4k（k＜0），
取y=0．得OA=

4k-2

k

（k＜0），
于是S_△AOB=

(4k-2)(2-4k)

2k

（k＜0），
将上式转化为二次方程得，8k²+（s-8）k+2=0．①
因为k为实数，
所以△=（S-8）²-64≥O．即S²-16S≥O，故S≥16．
将S=16代入式①．得k=-

1

2

，
所以当k=-

1

2

时，S_△AOB最小=16．