试题

已知首项系数不相等的两个二次方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0及（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 （a、b是正整数）有一个公共根，求

aa+bb

a-b+b-a

的值．

解：由方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a）=0
∴x₁=

a+2

a-1

，x₂=a；
同理可由方程（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 解得x₁=

b+2

b-1

，x₂=b；
∵a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．
∴

a+2

a-1

=b，则b=1+

3

a-1

，所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．
（若有a=

b+2

b-1

也是同样的结果）
当a=2，b=4，

aa+bb

a-b+b-a

=

22+44

2-4+4-2

=2080．
（把a=4，b=2代入计算的结果一样）
所以

aa+bb

a-b+b-a

的值为2080．
解：由方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a）=0
∴x₁=

a+2

a-1

，x₂=a；
同理可由方程（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 解得x₁=

b+2

b-1

，x₂=b；
∵a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．
∴

a+2

a-1

=b，则b=1+

3

a-1

，所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．
（若有a=

b+2

b-1

也是同样的结果）
当a=2，b=4，

aa+bb

a-b+b-a

=

22+44

2-4+4-2

=2080．
（把a=4，b=2代入计算的结果一样）
所以

aa+bb

a-b+b-a

的值为2080．