试题

题目：
m为给定的有理数，k为何值时，方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根？
答案
解：方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的判别式
△=16（1-m）2-4（3m2-2m+4k）=4m2-24m+16-16k，
∵方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m2-24m+16-16k=4（m2-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0时，△是完全平方式，
解得k=-
5
4
，
所以m为给定的有理数，k=-
5
4
时，方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根．
解：方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的判别式
△=16（1-m）2-4（3m2-2m+4k）=4m2-24m+16-16k，
∵方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m2-24m+16-16k=4（m2-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0时，△是完全平方式，
解得k=-
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，
所以m为给定的有理数，k=-
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时，方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根．
考点梳理
根的判别式；完全平方式．
先计算出方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的△，△=16（1-m）2-4（3m2-2m+4k）=4m2-24m+16-16k，要原方程的根总为有理根，则△为完全平方式，即4m2-24m+16-16k是完全平方式时，-20-16k=0时总有有理根，求解即可得到k的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根是有理根的条件为判别式是完全平方数．
计算题．
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