试题

是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px²-qx+p=O有有理数根？

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q²-4p²=n²，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p²．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：

q-n=2 q+n=2p2

、

q-n=4 q+n=p2

、

q-n=p q+n=4p

、

q-n=2p q+n=2p

、

q-n=p2 q+n=4.

消去n，解得q=p2+1，q=2+

p2

2

，q=

5p

2

，q=2p，q=2+

p2

2

．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x²-5x+2=0，它的根为x1=

1

2

，x2=2，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q²-4p²=n²，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p²．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：

q-n=2 q+n=2p2

、

q-n=4 q+n=p2

、

q-n=p q+n=4p

、

q-n=2p q+n=2p

、

q-n=p2 q+n=4.

消去n，解得q=p2+1，q=2+

p2

2

，q=

5p

2

，q=2p，q=2+

p2

2

．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x²-5x+2=0，它的根为x1=

1

2

，x2=2，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）