试题

题目：
已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．
答案
证明：由已知得2b=pc+ra，
所以△=（2b）2-4ac=（pc+ra）2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=（pc-ra）2+4ac（pr-1）．
由已知pr-1＞0，又（pc-ra）2≥0，
所以当ac≥0时，△≥0；
当ac＜0时，也有△=（2b）2-4ac＞0．
综上，总有△≥0，
故原方程必有实数根．
证明：由已知得2b=pc+ra，
所以△=（2b）2-4ac=（pc+ra）2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=（pc-ra）2+4ac（pr-1）．
由已知pr-1＞0，又（pc-ra）2≥0，
所以当ac≥0时，△≥0；
当ac＜0时，也有△=（2b）2-4ac＞0．
综上，总有△≥0，
故原方程必有实数根．
考点梳理
根的判别式．
先计算出△，由pc-2b+ra=0消去△中的b，然后把△变形为（pc-ra）2+4ac（pr-1），无论ac为何值（a≠0），必有△≥0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了代数式的变形能力．
计算题．
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