试题

题目：
解下列方程
（1）（2x-1）2=7（直接开平方法）     
（2）2x2-7x-4=0（用配方法）
（3）2x2-10x=3（公式法）          
（4）（3x-4）2=（3-4x）2（因式分解法）
（5）x2+4-
x2+8
=26（用换元法解） 
（6）（2x2+1）2-2x2-3=0（用换元法解）
答案
解：（1）开平方，得
2x-1=±
7
，
∴x1=
7
+1
2
，x2=
-
7
+1
2
；

（2）移项，得
2x2-7x=4，
化二次项的系数为1，得
x2-
7
2
x=2，
配方，得
x2-
7
2
x+
49
16
=2+
49
16
，
（x-
7
4
）2=
81
16

开平方，得
x-
7
4
=±
9
4
，
∴x1=4，x2=-
1
2
；

（3）移项，得
2x2-10x-3=0，
∴a=2，b=-10，c=-3，
∴△=100+24=124＞0，
∴x=
10±
124
4
，
∴x1=
5+
31
2
，x2=
5-
31
2
；

（4）移项，得
（3x-4）2-（3-4x）2=0
分解因式，得
（3x-4+3-4x）（3x-4-3+4x）=0，
∴-x-1=0或7x-7=0，
∴x1=-1，x2=1；

（5）原方程变形为：
x2+8-
x2+8
=30，
设
x2+8
=a，将原方程变形为：
a2-a=30，
移项，得
a2-a-30=0，
因式分解，得
（a+5）（a-6）=0，
∴a+5=0或a-6=0，
∴a1=-5（舍去），a2=6，
∴
x2+8
=6，
解得：x=±2
7
，
经检验，x=±2
7
是原方程的根；

（6）原方程变形为：
（2x2+1）2-（2x2+1）-2=0，
设2x2+1=a，则原方程变为：
a2-a-2=0，
解得：
a1=-1，a2=2，
当a=-1时，
2x2+1=-1，
△＜0，原方程无解，
当a=2时，
2x2+1=2，
解得：x=±
2
2

解：（1）开平方，得
2x-1=±
7
，
∴x1=
7
+1
2
，x2=
-
7
+1
2
；

（2）移项，得
2x2-7x=4，
化二次项的系数为1，得
x2-
7
2
x=2，
配方，得
x2-
7
2
x+
49
16
=2+
49
16
，
（x-
7
4
）2=
81
16

开平方，得
x-
7
4
=±
9
4
，
∴x1=4，x2=-
1
2
；

（3）移项，得
2x2-10x-3=0，
∴a=2，b=-10，c=-3，
∴△=100+24=124＞0，
∴x=
10±
124
4
，
∴x1=
5+
31
2
，x2=
5-
31
2
；

（4）移项，得
（3x-4）2-（3-4x）2=0
分解因式，得
（3x-4+3-4x）（3x-4-3+4x）=0，
∴-x-1=0或7x-7=0，
∴x1=-1，x2=1；

（5）原方程变形为：
x2+8-
x2+8
=30，
设
x2+8
=a，将原方程变形为：
a2-a=30，
移项，得
a2-a-30=0，
因式分解，得
（a+5）（a-6）=0，
∴a+5=0或a-6=0，
∴a1=-5（舍去），a2=6，
∴
x2+8
=6，
解得：x=±2
7
，
经检验，x=±2
7
是原方程的根；

（6）原方程变形为：
（2x2+1）2-（2x2+1）-2=0，
设2x2+1=a，则原方程变为：
a2-a-2=0，
解得：
a1=-1，a2=2，
当a=-1时，
2x2+1=-1，
△＜0，原方程无解，
当a=2时，
2x2+1=2，
解得：x=±
2
2
考点梳理
换元法解一元二次方程；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．
（1）用直接开平方法求解就可以了；
（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；
（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后带入求根公式求解就可以了；
（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；
（5）设
x2+8
=a，将原方程变形为a2-a=30，再解一个关于a的一元二次方程求解；
（6）将原方程变形为：（2x2+1）2-（2x2+1）-2=0，再设2x2+1=a，就可以变为a2-a-2=0，最后可以运用因式分解法求解．
本题考查了换元法、直接开平方法，因式分解法、公式法解一元二次方程和无理方程，在解无理方程时要检验，这是解答者容易忽略的地方．
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