试题

题目：
青果学院活用知识，解决问题．
（1）轮船顺水航行40千米所需时间和逆水航行30千米所需时间相等，已知水流速度为3千米/小时，求轮船在静水中的速度．
（2）将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，设较短的直角边为1
①四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由
是平行四边形．因为四边形ABCD有两组对边相等．
是平行四边形．因为四边形ABCD有两组对边相等．
；
②将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D③位置，四边形ABC1D1是平行边边形吗？说明你的结论和理由
是平行四边形．因为四边形ABC1D1在滑动过程中有一组对边平行且相等．
是平行四边形．因为四边形ABC1D1在滑动过程中有一组对边平行且相等．
；
③在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当B的移动距离为
3
3
3
3
四边形ABC1D1为矩形，其理由是
在直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半
在直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半
．

（3）阅读理解：
解方程x4-3x2+2=0，设x2=y，则原方程可分为y2-3y+2=0，解得：y1=2，y2=1．
（1）当y=2时，x2=2，解得x=±
2
；
（2）当y=1时，x2=1，解题x=±1，故原方程的解是：x1=
2
，x2=-
2
，x3=1，x4=-1，请利用以上方法解方程：（x2-2x）2-2x2+4x-3=0．
答案
是平行四边形．因为四边形ABCD有两组对边相等．

是平行四边形．因为四边形ABC1D1在滑动过程中有一组对边平行且相等．

3
3

在直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半

解：（1）设轮船在静水中的速度为x千米/小时，那么顺水航行速度为（3+x）千米/小时，逆水航行速度为（x-3）千米/小时，
依题意得
40
x+3
=
30
x-3
，
解之得x=21，
经检验x=21是原方程的解，
答：轮船在静水中的速度为21千米/小时；

（2）①四边形ABCD是平行四边形；
∵AB=CD，CB=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②四边形ABC1D1是平行边边形．
由①得AB∥CD且相等，
∴四边形ABC1D1是平行边边形；
③由①②的结论，容易知道∠ABD=30°，而∠ABC1=90°，
∴∠D1BC1=60°，
∴∠BC1B1=30°，
而较短的直角边为1，即C1B1=1，
∴根据勾股定理得BB1=
3
3
，
∴B的移动距离为
3
3
；

（3）设y=x2-2x，而原方程可化为（x2-2x）2-2（x2-2x）-3=0，
∴原方程转换为y2-2y-3=0，
∴解得：y1=3，y2=-1，
①当y=3时，x2-2x=3，解得x1=3，x2=-1；
②当y=-1时，x2-2x=-1，解题x3=1=x4，
故原方程的解是：x1=3，x2=-1，x3=x4=1．
考点梳理
换元法解一元二次方程；分式方程的应用；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定．
（1）设轮船在静水中的速度为x千米/小时，那么顺水航行速度为（3+x）千米/小时，逆水航行速度为（x-3）千米/小时，根据轮船顺水航行40千米所需时间和逆水航行30千米所需时间相等即可列出方程，解方程即可解决问题；
（2）①依题意容易知道AB=CD，CB=AD，根据平行四边形的判定方法即可判定四边形ABCD是平行四边形；
②利用①的结果知道在滑动过程中，始终有AB和CD平行且相等，所以利用平行四边形的判定方法即可判定四边形ABC1D1是平行边边形；
③利用①②的结论，容易知道∠ABD=30°，而∠ABC1=90°，所以可以求出∠D1BC1=60°，然后即可求出线段B1B的长度，也就求出了B的移动距离，理由是在直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半．
（3）设y=x2-2x，而原方程可化为（x2-2x）2-2（x2-2x）-3=0，所以原方程转换为y2-2y-3=0，然后解此方程即可求出y，接着求出x，也就解决了问题．
此题比较复杂，把代数和几何知识结合起来，第一题考查的是列出分式方程解决行程问题，第二题考查运动的平行四边形的性质，第三题考查的是利用换元法解高次方程，对于学生的要求比较高，平常要多注意这方面的训练．
行程问题．
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