试题

题目：
若x为实数，且x2+
1
x2
+3(x+
1
x
)=2，则x+
1
x
的值为（　　）



答案
A
解：由已知方程，得
(x+
1
x
)2-2+3(x+
1
x
)=2，即(x+
1
x
)2+3(x+
1
x
)-4=0．
设x+
1
x
=t，则t2+3t-4=0，即（t-1）（t+4）=0，
解得t=1或t=-4，
所以x+
1
x
的值为-4或1，
当x=1时，整理后得x2-x+1=0，该方程无实数解，即x为任何实数时x+
1
x
=1不成立，
∴x+
1
x
的值为-4，
故选A．
考点梳理
换元法解一元二次方程．
因为x2+
1
x2
=(x+
1
x
)2-2，所以原方程转化为(x+
1
x
)2+3(x+
1
x
)-4=0．只需设x+
1
x
=t，然后将已知方程转互为关于t的一元二次方程，通过解该方程来求t的值．
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
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