试题

题目：
（1）已知
1+
1
12
+
1
22
=
3
2
，
1+
1
22
+
1
32
=
7
6
，
1+
1
32
+
1
42
=
13
12
，…试猜测
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
的结果，并加以证明；
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2+n+1
n(n+1)
，
（2）s=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20052
+
1
20062
，
求不超过S的最大整数[s]．
答案
解：（1）猜想：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2+n+1
n(n+1)
．
证明：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2
n2(n+1)2
=
n2(n+1)2+2n(n+1)+1 
n(n+1)
=
n2+n+1
n(n+1)
；
（2）∵
n2+n+1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴s=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
2005
-
1
2006
=2005+1-
1
2006
=2005
2005
2006
，
∴[s]=2005．
解：（1）猜想：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2+n+1
n(n+1)
．
证明：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2
n2(n+1)2
=
n2(n+1)2+2n(n+1)+1 
n(n+1)
=
n2+n+1
n(n+1)
；
（2）∵
n2+n+1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴s=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
2005
-
1
2006
=2005+1-
1
2006
=2005
2005
2006
，
∴[s]=2005．
考点梳理
二次根式的化简求值．
（1）观察几道算式可知，结果的分母为二次根式中两个分母的积，分子比分母大1，由此得出一般规律；
（2）将一般规律的结果变形，即
n2+n+1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，再将n的值代入寻找抵消规律．
本题考查了二次根式的化简求值．关键是根据算式发现一般规律，运用一般规律代值计算，寻找算式的抵消规律．
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