试题

题目：
已知：对于正整数n，有
1
(n+1)
n
+n
n+1
=
1
n
-
1
n+1
，若某个正整数k满足
1
2
1
+1
2
+
1
3
2
+2
3
+
1
4
3
+3
4
+…+
1
(k+1)
k
+k
k+1
=
2
3
，则k=
8
8
．
答案
8

解：∵
1
2
1
+1
2
+
1
3
2
+2
3
+
1
4
3
+3
4
+…+
1
(k+1)
k
+k
k+1
=
2
3
，
∴
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
k
-
1
k+1
=
2
3
，
即1-
1
k+1
=
2
3
，
∴
1
k+1
=
1
3
，
解得k=8．
故答案为：8．
考点梳理
分母有理化．
读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成
1
n
-
1
n+1
的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．
解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．
规律型．
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