试题

题目：
能力拓展：
A1：
2
-
1
=
1
2
+
1
；A2：
3
-
2
=
1
3
+
2
；A3：
4
-
3
=
1
4
+
3
；A4：
5
-
4
=
1
5
+
4
1
5
+
4
．
…An：
n+1
-
n
=
1
n+1
+
n
n+1
-
n
=
1
n+1
+
n
．
（1）请观察A1，A2，A3的规律，按照规律完成填空．
（2）比较大小A1和A2
∵
3
+
2
＞
＞
2
+
1

∴
1
3
+
2
＜
＜
1
2
+
1

∴
3
-
2
＜
＜
2
-
1

（3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小：
4
-
3
＜
＜
3
-
2
；
7
-
6
＜
＜
5
-
4
；
n+1
-
n
＜
＜
n
-
n-1

答案
1
5
+
4

n+1
-
n
=
1
n+1
+
n

＞

＜

＜

＜

＜

＜

解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
5
-
4
=
1
5
+
4
，
n+1
-
n
=
1
n+1
+
n
，

（2）∵
3
＞
1
，
∴
3
+
2
＞
2
+
1
＞1（不等式的两边同时加上
2
，不等式仍成立）；
∴
1
3
+
2
＜
1
2
+
1
，
即
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
＜
2
+
1
(
2
+
1
)(
2
-1)
；
∴
3
-
2
＜
2
-
1
；

（3）由（1）、（2），知
4
-
3
＜
3
-
2
，
7
-
6
＜
5
-
4
，
n+1
-
n
＜
n
-
n-1
；
故答案为：（1）
1
5
+
4
、
n+1
-
n
=
1
n+1
+
n
；
（2）＞，＜，＜；
（3）＜，＜，＜．
考点梳理
分母有理化．
（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质：等式的两边同时加上或减去一个数，等式仍成立，求得
3
+
2
＞
2
+
1
，然后利用（1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空．
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
规律型．
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