试题

题目：
观察下列等式：
①
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=-1+
2
，
②
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=-
2
+
3
；
③
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=-
3
+
4
；…
从计算结果中寻找规律，并利用这一规律计算：(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2011
+
2010
)(
2011
+1)．
答案
解：∵
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=-1+
2
，
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=-
2
+
3
；
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=-
3
+
4
；…
∴(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2011
+
2010
)(
2011
+1)
=（-1+
2
-
2
+
3
-
3
+
4
+…-
2010
+
2011
）（
2011
+1）
=（-1+
2011
）（
2011
+1）
=2011-1
=2010．
解：∵
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=-1+
2
，
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=-
2
+
3
；
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=-
3
+
4
；…
∴(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2011
+
2010
)(
2011
+1)
=（-1+
2
-
2
+
3
-
3
+
4
+…-
2010
+
2011
）（
2011
+1）
=（-1+
2011
）（
2011
+1）
=2011-1
=2010．
考点梳理
分母有理化．
先通过观察给出的等式，找出其中的规律，再根据找出的规律对要求的式子进行化简，最后把所得的结果合并即可求出答案．
本题主要考查了分母有理化，在解题时要能找出分母的有理化因式，找出其中的规律并注意运算结果的符号是本题的关键．
规律型．
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