试题

题目：
阅读下列运算的推理过程，并解答问题．
①∵(
2
+1)(
2
-1)=(
2
)2-12=1，∴
1
2
+1
=
2
-1，
②∵(
3
+
2
)(
3
-
2
)=(
3
)2-(
2
)2=1，∴
1
3
+
2
=
3
-
2
，
③∵(
4
+
3
)(
4
-
3
)=(
4
)2-(
3
)2=1，∴
1
4
+
3
=
4
-
3
，
…
（1）依以上规律写出第④个运算的推理过程；
（2）用含字母n（n表示大于0的自然数）表示出题中运算的推理过程；
（3）利用题中规律计算下列式子的值：(
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2007
+
2006
)(
2007
+1)的值．
答案
解：（1）∵（
5
+
4
）（
5
-
4
）=（
5
）2-（
4
）2=1，∴
1
5
+
4
=
5
-
4
．
（2）
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
（3）原式=（
2
-1+
3
-
2
+…+
2007
-
2006
）（
2007
+1）
=（
2007
-1）（
2007
+1）
=2006．
解：（1）∵（
5
+
4
）（
5
-
4
）=（
5
）2-（
4
）2=1，∴
1
5
+
4
=
5
-
4
．
（2）
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
（3）原式=（
2
-1+
3
-
2
+…+
2007
-
2006
）（
2007
+1）
=（
2007
-1）（
2007
+1）
=2006．
考点梳理
分母有理化．
（1）依照规律直接写出运算的推理过程即可解答．
（2）根据所给特例，不难发现：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
（3）根据这一性质即可化简，化简后再用平方差公式求值即可解答．
本题主要考查分母有理化的方法，找出规律是解答本题的关键．
规律型．
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