试题

题目：
观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
…
（1）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2008
+
2007
)·(
2008
+1)．
答案
解：（1）∵
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
…
∴第n的一个式子可以表示为：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n≥1的整数）．
证明：∵
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
(
n+1
+
n
)(
n+1
-
n
)

=
n+1
-
n
n+1-n

=
n+1
-
n
．
∴
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n≥1的整数）．
（2）原式=[（
2
-1）+（
3
-
2
）+（
4
-
3
）+…+（
2008
-
2007
）]（
2008
+1）
=[
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2008
-
2007
]（
2008
+1）
=[
2008
-1]（
2008
+1）
=2007．
解：（1）∵
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
…
∴第n的一个式子可以表示为：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n≥1的整数）．
证明：∵
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
(
n+1
+
n
)(
n+1
-
n
)

=
n+1
-
n
n+1-n

=
n+1
-
n
．
∴
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n≥1的整数）．
（2）原式=[（
2
-1）+（
3
-
2
）+（
4
-
3
）+…+（
2008
-
2007
）]（
2008
+1）
=[
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2008
-
2007
]（
2008
+1）
=[
2008
-1]（
2008
+1）
=2007．
考点梳理
分母有理化．
（1）本题是一道规律题，很容易发现相邻的两个实数的和倒数就是这两个相邻实数的差．从而求出其值．
（2）利用（1）的结论进行化简，然后运用平方差公式计算就可以了．
本题考查分母有理化的运用，平方差公式的运用，在解答中注意观察题目的变化规律，运用规律解答能使运算简便，并且得心应手．
规律型．
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