试题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上的一点，F、G分别是AB、CM的中点，且AE=CE，∠MBE=45°，有以下四个结论：①AB=CM；②AB⊥CM；③∠BMC=90°，④△EFG是等腰直角三角形．其中正确的序号是．（本题有若干个答案，多填、错填得零分，少填酌情扣分．）

解：延长MC与AB相交于点H，
则∠MCE+∠MEC=∠EAB+∠MHA，
又∵∠MCE=∠EAB且∠MEC=90°，
∴∠MHA=90°，
∴AB⊥CM，即②正确．
∵∠MBE=45°，
∴BE=ME．
在△ABE与△CME中，
∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，
∴△ABE≌△CME，
∴AB=CM，即①正确．
∵∠MCE=∠BAE=90°-∠ABE＜90°-∠MBE=45°，
∴∠MCE+∠MBC＜90°，
∴∠BMC＞90°，即③错误．
根据直角三角形斜边上的中线的性质可知EF=

1

2

AB，EG=

1

2

CM，
∴EF=EG，
又∵∠FEG=90°，
∴△EFG是等腰直角三角形，即④正确．
可证故正确的是①②④．
故答案为：①②④．