试题

题目：
青果学院已知：如图，△ABC中，BD，CE分别平分∠B和∠C，P是DE中点，过点P作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为L，M，N，求证：PL=PM+PN．
答案
解：青果学院过D作DF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥BC交BC于G，过D作DH⊥AB交AB于H，过E作EK⊥AC交AC于K．
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，
∴DF∥PL∥EG，
又∵PD=EP，
∴PL是梯形DEGF的中位线，
∴PL=
DF+EG
2
．
∵点E在∠ACB的平分线上，
∴EG=EK．
∵点D在∠ABC的平分线上，
∴DF=DH．
∴PL=
DH+EK
2
．
∵PM⊥AC、EK⊥AC，
∴PM∥EK，
又∵DP=EP，
∴PM是△DEK的中位线，
∴EK=2PM．
∵PN⊥AB、DH⊥AB，
∴PN∥DH，
又∵DP=EP，
∴PN是△DEH的中位线，
∴DH=2PN．
∵PL=
DH+EK
2
，EK=2PM、DH=2PN，
∴PL=PM+PN．
解：青果学院过D作DF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥BC交BC于G，过D作DH⊥AB交AB于H，过E作EK⊥AC交AC于K．
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，
∴DF∥PL∥EG，
又∵PD=EP，
∴PL是梯形DEGF的中位线，
∴PL=
DF+EG
2
．
∵点E在∠ACB的平分线上，
∴EG=EK．
∵点D在∠ABC的平分线上，
∴DF=DH．
∴PL=
DH+EK
2
．
∵PM⊥AC、EK⊥AC，
∴PM∥EK，
又∵DP=EP，
∴PM是△DEK的中位线，
∴EK=2PM．
∵PN⊥AB、DH⊥AB，
∴PN∥DH，
又∵DP=EP，
∴PN是△DEH的中位线，
∴DH=2PN．
∵PL=
DH+EK
2
，EK=2PM、DH=2PN，
∴PL=PM+PN．
考点梳理
角平分线的性质；三角形中位线定理；梯形中位线定理．
过D作DF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥BC交BC于G，过D作DH⊥AB交AB于H，过E作EK⊥AC交AC于K．
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，可知DF∥PL∥EG，进而可得出PL是梯形DEGF的中位线，所以PL=
DF+EG
2
．由角平分线的性质可知EG=EK，DF=DH，同理可得PM是△DEK的中位线，PN是△DEH的中位线，再通过等量代换即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，涉及到三角形、等腰梯形的中位线定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
证明题．
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