试题

如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠AOD=120°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．
（1）判断△SPQ的形状并证明你的结论；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；
（3）

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，求

CD

AB

的值．

解：（1）连接SC、PB，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，
而∠AOD=120°，则∠DOC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∵S为OD的中点，
∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，
又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，
∴PS=

1

2

AD，SQ=

1

2

BC，PQ=

1

2

BC，
故可得△SPQ是等边三角形；

（2）作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB=5，CD=3，
∴AE=

5-3

2

=1，BE=5-1=4，
∴DE=BE·tan60°=4

3

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=7，
∴PS=PQ=SQ=

7

2

，
∴S_△PQS=

49 3

16

；

（3）设CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=(

3

2

a)2+(b+

a

2

)2=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，S_△AOD=S_△BOC=

1

2

CS×OB=

1

2

×

3

2

a×b=

3

4

ab，
∴8×

3

16

（a²+ab+b²）=7×

3

4

ab，
即2a²-5ab+2b²=0，
∴（a-2b）（2a-b）=0，
∴a=2b（不合题意舍去）或2a=b，
∴化简得

a

b

=

1

2

，
故

CD

AB

=

1

2

．
解：（1）连接SC、PB，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，
而∠AOD=120°，则∠DOC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∵S为OD的中点，
∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，
又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，
∴PS=

1

2

AD，SQ=

1

2

BC，PQ=

1

2

BC，
故可得△SPQ是等边三角形；

（2）作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB=5，CD=3，
∴AE=

5-3

2

=1，BE=5-1=4，
∴DE=BE·tan60°=4

3

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=7，
∴PS=PQ=SQ=

7

2

，
∴S_△PQS=

49 3

16

；

（3）设CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=(

3

2

a)2+(b+

a

2

)2=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，S_△AOD=S_△BOC=

1

2

CS×OB=

1

2

×

3

2

a×b=

3

4

ab，
∴8×

3

16

（a²+ab+b²）=7×

3

4

ab，
即2a²-5ab+2b²=0，
∴（a-2b）（2a-b）=0，
∴a=2b（不合题意舍去）或2a=b，
∴化简得

a

b

=

1

2

，
故

CD

AB

=

1

2

．