试题

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

解：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，
证明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B：∠C=2：1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=

1

2

∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°，
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B，BD=DE
∵AB+BD=AC
∴BD=EC∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B：∠C=2：1

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE
证明△ADE≌△ADC
再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC-AB或AB+BD转化成一条线段
解：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，
证明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B：∠C=2：1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=

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∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°，
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B，BD=DE
∵AB+BD=AC
∴BD=EC∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B：∠C=2：1

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE
证明△ADE≌△ADC
再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC-AB或AB+BD转化成一条线段