试题

如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．
求证：AD=AC-AB．

解：在AC上截取AE=AB，连DE，如图，
设∠C=x，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，
∴∠BAC=4x，∠B=2x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠3=∠4=2x，
∵在△ABD和△AED中，

AB=AE ∠3=∠4 AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠1=2x，
∴∠1=∠4，
∴DA=DE，
∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，
∴∠2=2x-x=x，即∠2=∠C，
∴ED=EC，
∴DA=EC，
∴AC=AE+EC=AB+AD，
即AD=AC-AB．
解：在AC上截取AE=AB，连DE，如图，
设∠C=x，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，
∴∠BAC=4x，∠B=2x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠3=∠4=2x，
∵在△ABD和△AED中，

AB=AE ∠3=∠4 AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠1=2x，
∴∠1=∠4，
∴DA=DE，
∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，
∴∠2=2x-x=x，即∠2=∠C，
∴ED=EC，
∴DA=EC，
∴AC=AE+EC=AB+AD，
即AD=AC-AB．