试题

问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

5

、

10

、

13

，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）若△ABC三边的长分别为

5

a，2

2

a，

17

a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
思维拓展：
（2）若△ABC三边的长分别为

m2+16n2

，

9m2+4n2

，2

m2+n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
探索创新：
（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时

a2+4

+

b2+25

有最小值，并求这个最小值．
（4）已知a，b，c，d都是正数，且a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，求证：ab=cd．

解：（1）如图：

S_△ABC=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；

（2）构造△ABC所示，（未在试卷上画出图形不扣分）

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．  

（3）如图所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，
AB⊥BD，DE⊥BD，当AE在一条直线上时，AC+CE最小，
由题意得出：AB∥DE，
∴△ABC′∽△EDC′，
∴

AB

ED

=

BC′

C′D

，
∴

2

5

=

BC′

3-BC′

，
解得：BC′=

6

7

，C′D=3-

6

7

=

15

7

，
过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．
∴AE=

49+9

=

58

．
即AC+CE的最小值是

58

，
故：a=

6

7

，b=3-

6

7

=

15

7

时，

a2+4

+

b2+25

有最小值为

58

．


（4）证明：∵a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，
∴c²（a²-d²）=a⁴，
则（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，
整理得出：a²b²=a²d²+b²d²，
∴a²b²=d²（a²+b²），
∴a²b²=d²c²，
∵a，b，c，d都是正数，
∴ab=cd．
解：（1）如图：

S_△ABC=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；

（2）构造△ABC所示，（未在试卷上画出图形不扣分）

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．  

（3）如图所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，
AB⊥BD，DE⊥BD，当AE在一条直线上时，AC+CE最小，
由题意得出：AB∥DE，
∴△ABC′∽△EDC′，
∴

AB

ED

=

BC′

C′D

，
∴

2

5

=

BC′

3-BC′

，
解得：BC′=

6

7

，C′D=3-

6

7

=

15

7

，
过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．
∴AE=

49+9

=

58

．
即AC+CE的最小值是

58

，
故：a=

6

7

，b=3-

6

7

=

15

7

时，

a2+4

+

b2+25

有最小值为

58

．


（4）证明：∵a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，
∴c²（a²-d²）=a⁴，
则（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，
整理得出：a²b²=a²d²+b²d²，
∴a²b²=d²（a²+b²），
∴a²b²=d²c²，
∵a，b，c，d都是正数，
∴ab=cd．