试题

已知三角形的三条边的长是三个连续的正整数，试讨论最小边长分别取什么值时，这个三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？

解：设三个连续的正整数n，n+1，n+2为三角形的三边，当且仅当n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…（5分）
（2）．若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…（10分）
（3）．若所构成的三角形是锐角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…（15分）
综上所述，当n=2时三边为2、3、4，构成钝角三角形；当n=3时三边为3、4、5，构成直角三角形；当n=4时三边为4、5、6，构成锐角三角形．…（20分）
解：设三个连续的正整数n，n+1，n+2为三角形的三边，当且仅当n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…（5分）
（2）．若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…（10分）
（3）．若所构成的三角形是锐角三角形，当且仅当n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…（15分）
综上所述，当n=2时三边为2、3、4，构成钝角三角形；当n=3时三边为3、4、5，构成直角三角形；当n=4时三边为4、5、6，构成锐角三角形．…（20分）