试题

题目：
青果学院如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．
答案
青果学院解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ2=PA2+PQ2，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=
1
2
PA=2，PD=AP·cos30°=2
3
，
则CD=PC+PD=3+2
3
，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2
3
）2=25+12
3
．
青果学院解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ2=PA2+PQ2，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=
1
2
PA=2，PD=AP·cos30°=2
3
，
则CD=PC+PD=3+2
3
，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2
3
）2=25+12
3
．
考点梳理
等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC2．
此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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