试题

题目：
青果学院已知：△ABC的周长是4+2
6
，AB=4，AC=
6
+
2
．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若CD是AB上的中线，DE⊥AB，∠ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE．
求证：DC=DE，并求△DBE的面积．
答案
青果学院解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周长是4+2
6
，AB=4，AC=
6
+
2
，
∴BC=（4+2
6
）-4-（
6
+
2
）=
6
-
2
，
∵(
6
+
2
)2+(
6
-
2
)2=42，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=
1
2
AB=2，
∴△DBE的面积=2×2÷2=2．（证明相等（3分），求面积2分）
青果学院解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周长是4+2
6
，AB=4，AC=
6
+
2
，
∴BC=（4+2
6
）-4-（
6
+
2
）=
6
-
2
，
∵(
6
+
2
)2+(
6
-
2
)2=42，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=
1
2
AB=2，
∴△DBE的面积=2×2÷2=2．（证明相等（3分），求面积2分）
考点梳理
勾股定理的逆定理；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
（1）根据△ABC的周长和两边的长，可求得AB的长，根据三边的关系判断△ABC的形状；
（2）此题要想求得面积，应该先求DE=BD=CD=
1
2
AB，可过点C作CM⊥AB交AB于M，得CM∥DE，通过角的关系证得．
本题考查了同学们利用角平分线的性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质等知识点解决问题的能力，作辅助线是关键．
证明题．
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