试题
题目：
已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a
2
+b
2
+c
2
=10a+24b+26c-338．
（1）试判断三角形的形状；
（2）求三角形最长边上的高．
答案
解：（1）∵a
2
+b
2
+c
2
=10a+24b+26c-338
∴a
2
-10a+b
2
-24b+c
2
-26c+338=0
a
2
-10a+25+b
2
-24b+144+c
2
-26c+169=0
（a-5）
2
+（b-12）
2
+（c-13）
2
=0（2分）
∴（a-5）
2
=0，（b-12）
2
=0，（c-13）
2
=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a
2
+b
2
=c
2
=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）
（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S
△ABC
=
1
2
ab
=
1
2
×5×12
=30，
又∵S
△ABC
=
1
2
ch
=30
1
2
·13h
=30，
∴h=
60
13
．（7分）
解：（1）∵a
2
+b
2
+c
2
=10a+24b+26c-338
∴a
2
-10a+b
2
-24b+c
2
-26c+338=0
a
2
-10a+25+b
2
-24b+144+c
2
-26c+169=0
（a-5）
2
+（b-12）
2
+（c-13）
2
=0（2分）
∴（a-5）
2
=0，（b-12）
2
=0，（c-13）
2
=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a
2
+b
2
=c
2
=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）
（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S
△ABC
=
1
2
ab
=
1
2
×5×12
=30，
又∵S
△ABC
=
1
2
ch
=30
1
2
·13h
=30，
∴h=
60
13
．（7分）
考点梳理
考点
分析
点评
勾股定理的逆定理；三角形的面积．
（1）先将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）根据（1）求出三角形的面积，再由最长边乘以最长边上的高除以2也等于这个三角形的面积，求出最长边上的高．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；直角三角形有两种求面积的方法．
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13
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2
，ac=k
4
-1，则以a、b、c为边的三角形（ ）