试题

在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM²+CN²=DM²+DN²，求证：AD²=

1

4

（AB²+AC²）．

证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵BD=DC，
∴ED=DN．
在△BED与△CND中，
∵

BD=DC ∠BDE=∠CDN ED=DN

∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE=NC．
∵∠MDN=90°，
∴MD为EN的中垂线．
∴EM=MN．
∴BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°．
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AD²=(

1

2

BC)2=

1

4

（AB²+AC²）．
证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵BD=DC，
∴ED=DN．
在△BED与△CND中，
∵

BD=DC ∠BDE=∠CDN ED=DN

∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE=NC．
∵∠MDN=90°，
∴MD为EN的中垂线．
∴EM=MN．
∴BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°．
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AD²=(

1

2

BC)2=

1

4

（AB²+AC²）．