试题

如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x、y轴上，当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C随着在y轴正半轴上运动．
（1）当A点在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当A点在x正半轴向右运动，点C随着在y轴正半轴运动至O点，在平面上有一点P，使△ACP为等边三角形，求点P的坐标；
（3）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB．

解：（1）如图，A点在原点时，OB=

AC2+BC2

，
=

42+22

，
=2

5

；

（2）如图，点C运动至点O，过点P作PD⊥AC于D，
∵△ACP是等边三角形，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
PD=

3

2

PC=

3

2

×4=2

3

，
点P在x轴上方时，P₁（2，2

3

），
点P在x轴下方时，P₂（2，-2

3

）；

（3）过点B作BE⊥y轴于E，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，OC=4×

2

2

=2

2

，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°-90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=2×

2

2

=

2

，
∴OE=2

2

+

2

=3

2

，
在Rt△BOE中，OB=

OE2+BE2

=

(3 2 )2+ 2 2

=2

5

．
解：（1）如图，A点在原点时，OB=

AC2+BC2

，
=

42+22

，
=2

5

；

（2）如图，点C运动至点O，过点P作PD⊥AC于D，
∵△ACP是等边三角形，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
PD=

3

2

PC=

3

2

×4=2

3

，
点P在x轴上方时，P₁（2，2

3

），
点P在x轴下方时，P₂（2，-2

3

）；

（3）过点B作BE⊥y轴于E，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，OC=4×

2

2

=2

2

，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°-90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=2×

2

2

=

2

，
∴OE=2

2

+

2

=3

2

，
在Rt△BOE中，OB=

OE2+BE2

=

(3 2 )2+ 2 2

=2

5

．