试题

（2012·潮阳区模拟）如图，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底边OC与x轴重合，点D为BC的中点，且AD⊥OD．
（1）求证：△ABD∽△DCO；
（2）若双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点A和点D，求k的值．

解：（1）证明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：过点A作AE⊥OC于点E，则四边形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=

1

2

BC=1
∴A、D两点的纵坐标分别为2和1，
∵点A和点D都在双曲线上，
∴点A、点D的横坐标分别为

k

2

和k，
∴OE=

k

2

，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE=

k

2

∵△ABD∽△DCO
∴

AB

DC

=

BD

CO

∴AB·CO=DC·BD
即：

k

2

·k=1×1
解得：k=±

2

∵双曲线在第一象限，
∴k=

2

．
解：（1）证明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：过点A作AE⊥OC于点E，则四边形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=

1

2

BC=1
∴A、D两点的纵坐标分别为2和1，
∵点A和点D都在双曲线上，
∴点A、点D的横坐标分别为

k

2

和k，
∴OE=

k

2

，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE=

k

2

∵△ABD∽△DCO
∴

AB

DC

=

BD

CO

∴AB·CO=DC·BD
即：

k

2

·k=1×1
解得：k=±

2

∵双曲线在第一象限，
∴k=

2

．