试题

（2013·历城区二模）直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=

m

x

（x＜0）交于点A（-1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），
∴把点C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直线的解析式是：y=x-4；
∵直线也过A点，
∴把A点代入y=x-4得到：n=-5
∴A（-1，-5），
 把将A点代入y=

m

x

（x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=

5

x

；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，
∵B点经过y轴，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO=

12+52

=

26

，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°=

OM

OB

=

OM

4

，
∴OM=2

2

，
∴在△AOM中，
sin∠OAB=

OM

OA

2 2

26

=

52

13

；

（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB=

12+12

=

2

，
∵OB=OC=4，
∴BC=

42+42

=4

2

，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴

OB

BC

=

BA

CD

或

OB

DC

=

BA

BC

，
∴

4

4 2

=

2

CD

或

4

DC

=

2

4 2

，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．
解：（1）∵直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），
∴把点C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直线的解析式是：y=x-4；
∵直线也过A点，
∴把A点代入y=x-4得到：n=-5
∴A（-1，-5），
 把将A点代入y=

m

x

（x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=

5

x

；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，
∵B点经过y轴，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO=

12+52

=

26

，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°=

OM

OB

=

OM

4

，
∴OM=2

2

，
∴在△AOM中，
sin∠OAB=

OM

OA

2 2

26

=

52

13

；

（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB=

12+12

=

2

，
∵OB=OC=4，
∴BC=

42+42

=4

2

，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴

OB

BC

=

BA

CD

或

OB

DC

=

BA

BC

，
∴

4

4 2

=

2

CD

或

4

DC

=

2

4 2

，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．